Модуль упругости

Модуль упругости — общее название нескольких физических величин, характеризующих способность твёрдого тела (материала, вещества) упруго деформироваться (то есть не постоянно) при приложении к нему силы. В области упругой деформации модуль упругости тела в общем случае зависит от напряжения и определяется производной (градиентом) зависимости напряжения от деформации, то есть тангенсом угла наклона диаграммы напряжений-деформаций:

E stackrel<text<def data-lazy-src= ><=> frac» />

E — модуль упругости;
— напряжение, вызываемое в образце действующей силой (равно силе, делённой на площадь приложения силы);
— упругая деформация образца, вызванная напряжением (равна отношению изменения размера образца после деформации к его первоначальному размеру).

В наиболее распространенном случае зависимость напряжения и деформации линейная (закон Гука):

$E= frac<sigma data-lazy-src=$ » />.

Если напряжение измеряется в паскалях, то, поскольку деформация является безразмерной величиной, единицей измерения λ также будет паскаль. Альтернативным определением является определение, что модуль упругости — это напряжение, достаточное для того, чтобы вызвать увеличение длины образца в два раза. Такое определение не является точным для большинства материалов, потому что это значение намного больше чем предел текучести материала или значения, при котором удлинение становится нелинейным, однако оно может оказаться более интуитивным.

Разнообразие способов, которыми могут быть изменены напряжения и деформации, включая различные направления действия силы, позволяют определить множество типов модулей упругости. Здесь даны три основных модуля:

Модуль Юнга ( E ) характеризует сопротивление материала растяжению/сжатию при упругой деформации, или свойство объекта деформироваться вдоль оси при воздействии силы вдоль этой оси; определяется как отношение напряжения к деформации сжатия(удлинения). Часто модуль Юнга называют просто модулем упругости.
Модуль сдвига или модуль жесткости ( G или ) характеризует способность материала сопротивляться изменению формы при сохранении его объёма; он определяется как отношение напряжения сдвига к деформации сдвига, определяемой как изменение прямого угла между плоскостями, по которым действуют касательные напряжения). Модуль сдвига является одной из составляющих явления вязкости.
Модуль объёмной упругости или Модуль объёмного сжатия ( K ) характеризует способность объекта изменять свой объём под воздействием всестороннего нормального напряжения (объёмного напряжения), одинакового по всем направлениям (возникающего, например, при гидростатическом давлении). Он равен отношению величины объёмного напряжения к величине относительного объёмного сжатия. В отличие от двух предыдущих величин, модуль объёмной упругости невязкой жидкости отличен от нуля (для несжимаемой жидкости — бесконечен).

Гомогенные и изотропные материалы (твердые), обладающие линейными упругими свойствами, полностью описываются двумя модулями упругости, представляющими собой пару любых модулей. Если дана пара модулей упругости, все другие модули могут быть получены по формулам, представленным в таблице ниже.

В невязких течениях не существует сдвигового напряжения, поэтому сдвиговый модуль всегда равен нулю. Это влечёт также и равенство нулю модуля Юнга.

Формулы преобразования
Упругие свойства гомогенных изотропных линейно-упругих материалов уникально определяются любыми двумя модулями упругости. Таким образом, имея два модуля, остальные можно вычислить по следующим формулам:

	$lambda+ frac<2G data-lazy-src=$ <3>» />	$frac<EG data-lazy-src=$ <3(3G-E)>» />	$lambdafrac<1+nu data-lazy-src=$ <3nu>» />	$frac<2G(1+nu) data-lazy-src=$ <3(1-2nu)>» />	$frac<E data-lazy-src=$ <3(1-2nu)>» />
	$Gfrac<3lambda + 2G data-lazy-src=$ » />	$9Kfrac<K-lambda data-lazy-src=$ <3K-lambda>» />	$frac<9KG data-lazy-src=$ <3K+G>» />	$frac<lambda(1+nu)(1-2nu) data-lazy-src=$ » />
	$Gfrac<E-2G data-lazy-src=$ <3G-E>» />	$K-frac<2G data-lazy-src=$ <3>» />	$frac<2 G nu data-lazy-src=$ <1-2nu>» />	$frac<Enu data-lazy-src=$ <(1+nu)(1-2nu)>» />	$frac<3Knu data-lazy-src=$ <1+nu>» />	$frac<3K(3K-E) data-lazy-src=$ <9K-E>» />
	$3frac<K-lambda data-lazy-src=$ <2>» />	$lambdafrac<1-2nu data-lazy-src=$ <2nu>» />	$frac<E data-lazy-src=$ <2+2nu>» />	$3Kfrac<1-2nu data-lazy-src=$ <2+2nu>» />	$frac<3KE data-lazy-src=$ <9K-E>» />
	$frac<lambda data-lazy-src=$ <2(lambda + G)>» />	$frac<E data-lazy-src=$ <2G>-1″ />	$frac<lambda data-lazy-src=$ <3K-lambda>» />	$frac<3K-2G data-lazy-src=$ <2(3K+G)>» />	$frac<3K-E data-lazy-src=$ <6K>» />
		$Gfrac<4G-E data-lazy-src=$ <3G-E>» />		$K+frac<4G data-lazy-src=$ <3>» />	$lambda frac<1-nu data-lazy-src=$ » />	$Gfrac<2-2nu data-lazy-src=$ <1-2nu>» />	$Efrac<1-nu data-lazy-src=$ <(1+nu)(1-2nu)>» />	$3Kfrac<1-nu data-lazy-src=$ <1+nu>» />	$3Kfrac<3K+E data-lazy-src=$ <9K-E>» />

Модули упругости (Е) для некоторых веществ:

Материал	Е, МПа	Е, кгс/см²
Алюминий	70000	713 800
Вода	2030	20300
Дерево	10000	102 000
Кость	30000	305 900
Медь	100000	1 020 000
Резина	5	50
Сталь	200000	2 039 000
Стекло	70000	713 800

См. также [ править ]

Модуль Юнга
Модуль сдвига G
Жёсткость
Предел текучести
Упругость
Предел прочности
Упругие волны
Уравнение Гассмана
en:Dynamic modulus

Ссылки [ править ]

Free database of engineering properties for over 63,000 materials

Расчет модуля упругости по ПНАЭ Г-7-002-86
Иомдина Е.Н. Механические свойства тканей глаза человека.

Литература [ править ]

Модули упругости // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / А. М. Прохоров (гл. ред.). — 3-е изд. — М .: Сов. энциклопедия, 1974. — Т. XVI. — С. 406. — 616 с.
G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press 2003 (paperback). ISBN 0-521-54344-4

Модуль упругой деформации

Деформация в твердом теле называется упругой, если она пропадает после того, как нагрузку с тела сняли.

В общем случае модуль упругости (E) определяют как

$E=\frac{d\sigma}{d\varepsilon} \qquad (1)$

где $\sigma$ – напряжение; $\varepsilon$ – относительная деформация. Надо помнить, что данное определение справедливо для линейного отрезка диаграммы напряжений, то есть когда деформацию можно считать упругой. На данном участке диаграммы величина E определена тангенсом угла наклона прямолинейного участка диаграммы.

В зависимости от типа деформации, направления действия деформирующей силы различают несколько модулей упругости. Наиболее часто используемые:

модуль Юнга;
модуль сдвига;
модуль объемной упругости;
коэффициент Пуассона и др.

Модуль Юнга

Модуль Юнга используют при характеристике деформация растяжения (сжатия) упругого тела, при этом деформирующая сила действует по оси тела. Модуль Юнга чаще всего определяют используя закон Гука:

$E=\frac{\sigma}{\varepsilon} \qquad (2)$

Модуль Юнга, равен напряжению, появляющемуся в стержне, если его относительное удлинение равно единице (или $E=\sigma$ при двойном удлинении длины тела). На практике кроме резины при упругой деформации двойного удлинения невозможно достичь, тело рвется.

Коэффициент упругости и модуль Юнга связаны как:

$k=\frac{SE}{l_0} \qquad (3)$

где – длина тела до деформации; S – площадь поперечного сечения.

Единицей измерения модуля Юнга служит паскаль.

Модуль сдвига

При помощи модуля сдвига (G) характеризуют способность тела оказывать сопротивление изменению формы тела (при этом объем сохраняется). Находят модуль сдвига как:

$G=\frac{Fh}{S\triangle s} \qquad (4)$

$\triangle s$ – абсолютный сдвиг слоев параллельных по отношению друг к другу; h — расстояние между слоями; F – сила, вызывающая сдвиг, параллельная сдвигающимся слоям тела.

Если вещество является однородным и изотропным, то модуль сдвига связан с модулем Юнга выражением:

$G=\frac{E}{2\left(1+\nu \right)} \qquad (5)$

где $\nu$ – коэффициент Пуассона для материала, который зависит от природы вещества. Иногда обозначается буквой $\mu$ .

Модуль объемной упругости

Модуль объемной упругости (модуль объемного сжатия) (K) – отражает способность тела к изменению объема при действии объемного напряжения, которое одинаково по всем направлениям. Его определяют выражением:

$K=-V\frac{dp}{dV} \qquad (6)$

где V – объем тела; p – давление, оказываемое на тело.

Если тело является изотропным, то:

$K=\frac{E}{3\left(1-2\nu \right)} \qquad (7)$

Примеры решения задач

$F=mg \qquad (1.1)$

Абсолютное удлинение растянутого тела связано с модулем упругости выражением:

$E=\frac{\sigma}{\varepsilon} \qquad (1.2)$

$\varepsilon =\frac{\triangle l}{l};\ \sigma=\frac{F}{S}$

То есть формула (1.2) преобразуется к виду:

$E=\frac{Fl}{\triangle l\ S}=\frac{mg\ l}{\triangle l\ S}$

Задание	Проволока длинной l и диаметром d закреплена за концы горизонтально. К середине этой проволоки подвесили груз массы m. Проволока растянулась, и точка подвеса опустилась на h. Каков модуль Юнга материала проволоки?
Решение	Сделаем рисунок.

В равновесии мы имеем (см. рис.1):

${\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_1+m\overrightarrow{g}=0 \qquad (2.1)$

где ${\overrightarrow{F}}_1$ – сила натяжения проволоки. В проекции на ось Y:

$2F_1{\sin \alpha =mg} \qquad (2.2)$

Так как угол $\alpha$ мал, то можно считать:

модули упругости

МОДУЛИ УПРУГОСТИ — величины, характеризующие упругие свойства материала. В случае малых деформаций упругого тела связь между компонентами напряжения s 11 , s 22 , . s 31 и компонентами относит. деформации e 11 , e 22 , . , e 31 в нек-рой точке тела представляется шестью линейными соотношениями (см. Гука закон:)

Коэф. g 11 , g 12 , . g 66 наз. М. у. и имеют размерность напряжения, т. е. единицы силы, отнесённой к единице площади, поскольку e ij — безразмерные величины. Физ. смысл M. у. выявляется при рассмотрении осн. элементарных типов напряжённого состояния упругого тела: одностороннего нормального напряжения, чистого сдвига и всестороннего нормального напряжения. Для каждого из этих напряжённых состояний зависимость между напряжением и соответствующей ему

деформацией определяется простейшей ф-лой: напряжение равно произведению соответствующей деформации на M. у. Одностороннему нормальному напряжению s, возникающему при простом растяжении (сжатии), соответствует в направлении растяжения модуль продольной упругости E (модуль Юнга). Он равен отношению нормального напряжения к относит. удлинению, вызванному этим напряжением в направлении его действия: E = s/e и характеризует способность материалов сопротивляться деформации растяжения.

Напряжённому состоянию чистого сдвига, при к-ром по двум взаимно ортогональным площадкам действуют только касат. напряжения т, соответствует модуль сдвига G. По величине он равен отношению касат. напряжения т к величине угла сдвига g, определяющего искажение прямого угла между плоскостями, по к-рым действуют касат. напряжения: G = т/g и представляет способность материала сопротивляться изменению формы при сохранении его объёма.

Всестороннему равному нормальному напряжению s, возникающему при гидростатич. давлении, соответствует модуль объёмного сжатия К (объёмный M. у.). Он равен отношению величины нормального напряжения к величине относит. объёмного сжатия, вызванного этим напряжением: К = s/q (где q = e 11 + e 22 + e 33 — относит. изменение объёма) и характеризует способность материала сопротивляться изменению его объёма, не сопровождающемуся изменением формы.

К пост. величинам, характеризующим упругие свойства материала, относится коэф. Пуассона v. Величина его равна отношению абс. значения относит. поперечного сжатия сечения e‘ (при одностороннем растяжении) к относит. продольному удлинению e, то есть v = |e‘|/e. Величины M. у. и коэф. Пуассона для нек-рых материалов приведены в табл. 1. Для однородного изотропного тела, напр. мелкозернистого ме-таллич. поликристалла с беспорядочной ориентировкой зёрен (т. е. не имеющего текстуры), M. у. и коэф. Пуассона одинаковы по всем направлениям. Величины E, G, К и v связаны соотношениями:

Следовательно, только две из них являются независимыми величинами и упругие свойства в случае изотропного тела определяются двумя упругими постоянными.

Табл. 1.

В случае анизотропного материала, напр. монокристаллов, E, G и v принимают разные значения в разл. кристаллографич. направлениях и их величины могут изменяться в широких пределах. Для монокристаллов M. у. для разных направлений иногда наз. постоянными упругости. Величины M. у. для нек-рых металлич. монокристаллов приведены в табл. 2.

Примечание: E 100 — М. у. в направлении ребра куба элементарной кристаллич. ячейки, E 111 — M. у. в направлении пространств. диагонали куба.

Число М. у. анизотропного материала [коэф. g_ij в (*)] равно 36, однако можно показать, что g_ij = g_ji и число различных коэф. уменьшается до 21 у анизотропного тела, лишённого всякой симметрии в отношении упругих свойств. При наличии симметрии в материале число M. у. сокращается. Напр., упругие свойства кристаллов моноклинной системы определяют 13 M. у., ромбич. системы — 9; для изотропного же упругого тела число независимых упругих постоянных сводится к двум.

M. у. устанавливаются экспериментально при ста-тич. или динамич. испытаниях. В первом случае образец подвергают воздействию усилий, вызывающих в нём определ. напряжённое состояние. Напр., E обычно определяют при испытаниях образцов на растяжение, G — на кручение и А — на всестороннее сжатие. Величины соответствующих M. у. устанавливают измерением приложенных усилий и возникающих при этом деформаций. При динамич. измерении M. у. пользуются зависимостью между частотой колебаний образца и величиной M. у. В случае продольных колебаний определяется E, в случае крутильных колебаний — G.

M. у. не являются строго пост. величинами для одного и того же материала, их значения меняются в зависимости от хим. состава и (в меньшей степени) от предварительной термич. и механич. обработки материала. Границы изменения M. у. обычно указываются в справочниках. В пределах упругих деформаций величины M. у. не зависят от скорости деформации. С изменением темп-ры материала значения M. у. также меняются. Зависимость M. у. от темп-ры близка к линейной. В ср. уменьшением, у. при повышении темп-ры на 100° соответствует 2-4%.

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Теория упругости, 4 изд., M., 1987; Лившиц Б. Г., Крапошин В.С., Липецкий Я. Л., Физические свойства металлов и сплавов, 2 изд., M., 1980; Золоторевский В. С., Механические свойства металлов, 2 изд., M., 1983; Новик А., Бер-ри Б., Релаксационные явления в кристаллах, пер. с англ., M., 1975. В. M. Розенберг.

Модуль упругости

Модуль упругости — общее название нескольких физических величин, характеризующих способность твёрдого тела (материала, вещества) упруго деформироваться (принимать в итоге первоначальный вид после приложения силы) при приложении к нему силы. В области упругой деформации модуль упругости тела в общем случае зависит от напряжения и определяется производной (градиентом) зависимости напряжения от деформации, то есть тангенсом угла наклона начального линейного участка диаграммы напряжений-деформаций:

E — модуль упругости;
σ — напряжение, вызываемое в образце действующей силой (равно силе, делённой на площадь приложения силы);
ε — упругая деформация образца, вызванная напряжением (равна отношению изменения размера образца после деформации к его первоначальному размеру).

В наиболее распространенном случае зависимость напряжения и деформации линейная (закон Гука):

Если напряжение измеряется в паскалях, то, поскольку деформация является безразмерной величиной, единицей измерения Е также будет паскаль. Альтернативным определением является определение, что модуль упругости — это напряжение, достаточное для того, чтобы вызвать увеличение длины образца в два раза. Такое определение не является точным для большинства материалов, потому что это значение намного больше чем предел текучести материала или значения, при котором удлинение становится нелинейным, однако оно может оказаться более интуитивным.

Модуль Юнга ( E ) характеризует сопротивление материала растяжению/сжатию при упругой деформации, или свойство объекта деформироваться вдоль оси при воздействии силы вдоль этой оси; определяется как отношение напряжения к деформации сжатия (удлинения). Часто модуль Юнга называют просто модулем упругости.
Модуль сдвига или модуль жесткости ( G или μ ) характеризует способность материала сопротивляться изменению формы при сохранении его объёма; он определяется как отношение напряжения сдвига к деформации сдвига, определяемой как изменение прямого угла между плоскостями, по которым действуют касательные напряжения. Модуль сдвига является одной из составляющих явления вязкости.
Модуль объёмной упругости или Модуль объёмного сжатия ( K ) характеризует способность объекта изменять свой объём под воздействием всестороннего нормального напряжения (объёмного напряжения), одинакового по всем направлениям (возникающего, например, при гидростатическом давлении). Он равен отношению величины объёмного напряжения к величине относительного объёмного сжатия. В отличие от двух предыдущих величин, модуль объёмной упругости невязкой жидкости отличен от нуля (для несжимаемой жидкости — бесконечен).

Применение модуля упругости, его обозначение и маркировка

Любое твердое вещество способно без деформации выдерживать статическую нагрузку только до определенного предела, восстанавливая свою форму после снятия нагрузки. Бетон, набрав прочность, приобретает свойства твердого тела и тоже может деформироваться под влиянием прилагаемых сил. Для определения его прочности (упругости) экспериментально рассчитываются два показателя: на растяжение и на сжатие. Полученный в результате измерений результат получил название модуль упругости бетона или модуль Юнга (в честь английского физика Томаса Юнга).

Подавляющее большинство объектов строится на основе предварительно выполненных проектных работ, в которых отдельным пунктом размещены расчеты конструкций из бетона (и железобетона). Для этой работы требуется использовать показатель величины модуля упругости, точнее, два его значения:

начальный – Eb;
приведенный – Eb1.

Для определения величины модуля используется одна из единиц измерения давления по системе СИ под названием паскаль (Па) или Мегапаскаль (МПа). 1 Па примерно равен 0,1 мм ртутного столба, а 1 МПа примерно равен 10 атм. На значение модуля влияет не только величина прилагаемого давления, но и структура бетона. По результатам измерения модуля прочности бетону присваивается соответствующий класс, обозначаемый в маркировке литерой B и соответствующими цифрами. Зависимость класса бетона от значения модуля прочности представлена в таблицах 5.1, 5.2 и 5.3 в СП (Своде Правил) 52-101 от 2003 года, разработанных на основе требований СНиП 52-01 от 2003 года.

Данные для определения модуля упругости бетона

Строительные конструкции, создаваемые из бетона, выдерживают в процессе эксплуатации значительные нагрузки, так как этот материал может упруго деформироваться в случае внешнего воздействия. Предельная величина нагрузки, под воздействием которой бетон не разрушается, называется модулем упругости. Он подразделяется на статический модуль и динамический. Для определения величины модуля экспериментально рассчитываются следующие показатели:

сопротивление осевому сжатию или призменная прочность;
сопротивление осевому растяжению.

Расчеты выполняются на основе следующих данных:

вида бетона (легкий или тяжелый, мелкозернстый или пористый);
характеристик наполнителя (щебня);
используемой технологии изготовления бетонной смеси и способа ее затвердевания (естественного, с тепловой обработкой или автоклавного);
класса бетона;
температуры окружающей среды.

Методы определения значения модуля упругости бетона

Значение модуля упругости определяют в лабораторных условиях, для чего используется два различных метода:

механический, когда небольшую порцию бетонной смеси укладывают в специальную форму и оставляют на 28 суток для набора начальной прочности. Затем образец (в форме кубика) извлекают из формы и подвергают под прессом нагрузке, которую увеличивают до момента разрушения образца. По результатам измерений строится диаграмма и замеряется тангенс угла кривизны. Это и есть среднее значение модуля упругости;
ультразвуковой неразрушающий, когда сравниваются скорость распространения ультразвука в предоставленном образце и в бетоне с заданными параметрами.

Более подробно познакомиться с методикой расчета модуля можно по ГОСТ 24452 от 1980 года, который так и называется: «Методы определения модуля упругости бетона».

Расчет модуля упругости бетона в ненормативной ситуации

На стройке еще иногда встречаются ситуации, когда необходимо срочно определить значение модуля упругости бетона, не обладая для этого необходимым инструментарием. Математические формулы чрезвычайно сложны и почти не поддающиеся запоминанию. Поэтому решение проблемы заключается в использовании данных из таблиц 12-14, размещенных на страницах СНиП 2.03.01-84.

Определение класса бетона по значению его модуля упругости

Для того, чтобы определить класс бетона при известном значении модуля его упругости, можно воспользоваться нормативными документами. Например, в СП 63.13320 от 2012 года размещена таблица 6.11, в которой по значению модуля упругости на растяжение и сжатие определяется класс бетона.

Пример зависимости класса бетона, который наиболее востребован в частном малоэтажном домостроении, от значения его модуля упругости:

класс В10 – значение модуля 19,0 с МПа=194;
класс В20 – значение модуля 27,5 с МПа=280;
класс В25 – значение модуля 30,0 с МПа=306;
класс В30 – значение модуля 32,5 с МПа=331.

Способы изменения значения модуля упругости бетона

У изготовителей бетона иногда возникает необходимость повысить или понизить модуль упругости бетона. Выполнить это возможно, если внести соответствующие изменения по следующим параметрам:

поменять заполнитель с целью изменения его качественных показателей;
внести поправки в пропорциональный состав компонентов бетонной смеси;
применить материала высшего или низшего класса;
сменить температурный режим приготовления бетона;
работать при другой влажности окружающей среды;
поменять условия, при которых бетон набирает прочность.

Например, бетон В15 после автоклавной обработки получает модуль, равный 17. Если же изготовить такой бетон с применением тепловой обработки, то значение его модуля повысится до 20,5.

Значимость модуля упругости для неосведомленного покупателя бетона

После знакомства с содержанием этой статьи, покупатель может более осознанно оформить заказ на приобретение бетона, так как знает, какими техническими характеристиками бетон должен обладать. Правильное определение модуля упругости и класса заказываемого объема бетона позволит не только сэкономить материальные ресурсы, но и использовать закупленный бетон для создания прочных и долговечных конструкций, в том числе и таких элементов, как фундамент или перекрытия.

голоса

Рейтинг статьи

Читайте так же:

Справочник содержания драгоценных металлов в бытовой технике