Последовательные и параллельные пружины — Series and parallel springs

В механике говорят , что две или более пружины включены последовательно, когда они соединены встык или точка в точку, и говорят, что они параллельны, когда они соединены бок о бок; в обоих случаях, чтобы действовать как одна пружина:

Серии	Параллельный

В более общем смысле, две или более пружины включены последовательно, когда любое внешнее напряжение, приложенное к ансамблю, прикладывается к каждой пружине без изменения величины, а величина деформации (деформации) ансамбля является суммой деформаций отдельных пружин. И наоборот, они считаются параллельными, если деформация ансамбля является их общей деформацией, а напряжение ансамбля является суммой их напряжений.

Любая комбинация пружин Гука (линейного отклика), включенных последовательно или параллельно, ведет себя как одна пружина Гука. Формулы для объединения их физических характеристик аналогичны тем, которые применяются к конденсаторам, включенным последовательно или параллельно в электрическую цепь .

СОДЕРЖАНИЕ

1 Формулы

Формулы

Эквивалентная пружина

В следующей таблице приведены формулы для пружины, которая эквивалентна системе из двух последовательно или параллельно установленных пружин, постоянные пружины которых равны и . ( Податливость пружины является обратной величиной ее жесткости.) k 1 < displaystyle k_ <1>> k 2 < displaystyle k_ <2>> c < displaystyle c>1 / k < displaystyle 1 / k>

Количество	Последовательно	В параллели
Эквивалентная жесткость пружины	1 k е q знак равно 1 k 1 + 1 k 2 < displaystyle < frac <1>>>> = < frac <1>>> + < frac <1>>>>	k е q знак равно k 1 + k 2 < Displaystyle к _ < mathrm > = k_ <1>+ k_ <2>>
Эквивалентное соответствие	c е q знак равно c 1 + c 2 < displaystyle c _ < mathrm > = c_ <1>+ c_ <2>>	1 c е q знак равно 1 c 1 + 1 c 2 < displaystyle < frac <1>>>> = < frac <1>>> + < frac <1>>>>
Прогиб (удлинение)	Икс е q знак равно Икс 1 + Икс 2 < displaystyle x _ < mathrm > = x_ <1>+ x_ <2>>	Икс е q знак равно Икс 1 знак равно Икс 2 < displaystyle x _ < mathrm > = x_ <1>= x_ <2>>
Сила	F е q знак равно F 1 знак равно F 2 < Displaystyle F _ < mathrm > = F_ <1>= F_ <2>>	F е q знак равно F 1 + F 2 < Displaystyle F _ < mathrm > = F_ <1>+ F_ <2>>
Накопленная энергия	E е q знак равно E 1 + E 2 < displaystyle E _ < mathrm > = E_ <1>+ E_ <2>>	E е q знак равно E 1 + E 2 < displaystyle E _ < mathrm > = E_ <1>+ E_ <2>>

Формулы разбиения

Количество	Последовательно	В параллели
Прогиб (удлинение)	Икс 1 Икс 2 знак равно k 2 k 1 знак равно c 1 c 2 < displaystyle < frac > >> = < frac > >> = < frac > >>>	Икс 1 знак равно Икс 2 < Displaystyle х_ <1>= х_ <2>,>
Сила	F 1 знак равно F 2 < Displaystyle F_ <1>= F_ <2>,>	F 1 F 2 знак равно k 1 k 2 знак равно c 2 c 1 < displaystyle < frac > >> = < frac > >> = < frac > >>>
Накопленная энергия	E 1 E 2 знак равно k 2 k 1 знак равно c 1 c 2 < displaystyle < frac > >> = < frac > >> = < frac > >>>	E 1 E 2 знак равно k 1 k 2 знак равно c 2 c 1 < displaystyle < frac > >> = < frac > >> = < frac > >>>

Вывод формулы пружины (эквивалент жесткости пружины)

Сила, которую испытывает каждая пружина, должна быть одинаковой, в противном случае пружины изгибаются. Причем эта сила будет такой же, как F _b . Это означает, что

F 1 знак равно — k 1 Икс 1 знак равно F 2 знак равно — k 2 Икс 2 знак равно F б . < Displaystyle F_ <1>= — k_ <1>x_ <1>= F_ <2>= — k_ <2>x_ <2>= F_ . ,>

Используя абсолютные значения, мы можем решить для и : Икс 1 < displaystyle x_ <1>,> Икс 2 < displaystyle x_ <2>,>

Икс 1 знак равно F 1 k 1 , Икс 2 знак равно F 2 k 2

Икс 1 + Икс 2 знак равно F б k е q

F 1 k 1 + F 2 k 2 знак равно F б k е q < displaystyle < frac > >>

Теперь, вспомнив это , мы приходим к F 1 знак равно F 2 знак равно F б

Тогда сила на блоке равна:

Итак, сила на блоке

Вот как мы можем определить эквивалентную жесткость пружины как

Отсюда мы получаем соотношение между сжатыми расстояниями для случая in series :

но существует связь между x ₁ и x _2, полученная ранее, поэтому мы можем подключить ее:

Формула жесткости пружины

Силу, которая возникает в результате деформации тела и пытающаяся вернуть его в исходное состояние, называют силой упругости.

Чаще всего ее обозначают $>_$. Сила упругости появляется только при деформации тела и исчезает, если пропадает деформация. Если после снятия внешней нагрузки тело восстанавливает свои размеры и форму полностью, то такая деформация называется упругой.

Современник И. Ньютона Р. Гук установил зависимость силы упругости от величины деформации. Гук долго сомневался в справедливости своих выводов. В одной из своих книг он привел зашифрованную формулировку своего закона. Которая означала: «Ut tensio, sic vis» в переводе с латыни: каково растяжение, такова сила.

Рассмотрим пружину, на которую действует растягивающая сила ($overline$), которая направлена вертикально вниз (рис.1).

Силу $overline$ назовем деформирующей силой. От воздействия деформирующей силы длина пружины увеличивается. В результате в пружине появляется сила упругости ($>_u$), уравновешивающая силу $overline$. Если деформация является небольшой и упругой, то удлинение пружины ($Delta l$) прямо пропорционально деформирующей силе:

где в коэффициент пропорциональности называется жесткостью пружины (коэффициентом упругости) $k$.

Жесткость (как свойство) — это характеристика упругих свойств тела, которое деформируют. Жесткость считают возможностью тела оказать противодействие внешней силе, способность сохранять свои геометрические параметры. Чем больше жесткость пружины, тем меньше она изменяет свою длину под воздействием заданной силы. Коэффициент жесткости — это основная характеристика жесткости (как свойства тела).

Коэффициент жесткости пружины зависит от материала, из которого сделана пружина и ее геометрических характеристик. Например, коэффициент жесткости витой цилиндрической пружины, которая намотана из проволоки круглого сечения, подвергаемая упругой деформации вдоль своей оси может быть вычислена как:

где $G$ — модуль сдвига (величина, зависящая от материала); $d$ — диаметр проволоки; $d_p$ — диаметр витка пружины; $n$ — количество витков пружины.

Единицей измерения коэффициента жесткости в Международной системе единиц (Си) является ньютон, деленный на метр:

Коэффициент жесткости равен величине силы, которую следует приложить к пружине для изменения ее длины на единицу расстояния.

Формула жесткости соединений пружин

Пусть $N$ пружин соединены последовательно. Тогда жесткость всего соединения равна:

где $k_i$ — жесткость $i-ой$ пружины.

При последовательном соединении пружин жесткость системы определяют как:

Примеры задач с решением

Задание. Пружина в отсутствии нагрузки имеет длину $l=0,01$ м и жесткость равную 10 $frac<Н><м>. $Чему будет равна жесткость пружины и ее длина, если на пружину действовать силой $F$= 2 Н? Считайте деформацию пружины малой и упругой.

Решение. Жесткость пружины при упругих деформациях является постоянной величиной, значит, в нашей задаче:

При упругих деформациях выполняется закон Гука:

[F=kDelta l left(1.2right).]

Из (1.2) найдем удлинение пружины:

Длина растянутой пружины равна:

Вычислим новую длину пружины:

Ответ. 1) $k’=10 frac<Н><м>$; 2) $l’=0,21$ м

Задание. Две пружины, имеющие жесткости $k_1$ и $k_2$ соединили последовательно. Какой будет удлинение первой пружины (рис.3), если длина второй пружины увеличилась на величину $Delta l_2$?

Решение. Если пружины соединены последовательно, то деформирующая сила ($overline$), действующая на каждую из пружин одинакова, то есть можно записать для первой пружины:

Для второй пружины запишем:

Если равны левые части выражений (2.1) и (2.2), то можно приравнять и правые части:

Жесткость пружины — формула и примеры расчетов

В физике упругая деформация возникает из-за силы, равной по модулю оказываемому воздействию. Сила упругости для пружины (F) пропорциональна её удлинению. Для определения жесткости пружины зависимость записывается математически с помощью следующей формулы: F = k·x; где х — длина предмета после его растяжения, а k — коэффициент жесткости.

Формула считается частным случаем закона Гука, который используется для растяжимого тонкого стержня. Чрезмерное воздействие приводит к появлению разных дефектов. Для процесса характерны некоторые особенности, от чего зависит жесткость пружины:

геометрические параметры детали;
срок эксплуатации;
значение коэффициента k, который при определённых условиях способствует снижению сжатия и сохранению силы на одинаковом уровне;
тип используемого материала (сталь, сплав) в процессе изготовления пружины.

На практических занятиях по физике в 7 классе применяются изделия разных типов. В автомобилестроении используется цветовое обозначение. Для расчета коэффициента жесткости пружины специалисты ориентируются на формулу k=Gd 4 /8D 3 n, где:

G — определяет модуль сдвига (свойство зависит, к примеру, от используемого сырья);
d — диаметр куска проволоки (величина определяется в период производства путём проката, а результат записывается в технической документации);
D — диаметр витков, которые получаются в результате намотки на проволоку (расчет осуществляется с учетом поставленных задач и зависит от нагрузки, оказываемой для сжатия объекта);
n — количество витков в системе (показатель варьируется в значительном диапазоне, от чего зависят эксплуатационные характеристики предмета).

С помощью формулы может измеряться жёсткость цилиндрической пружины, используемой в разных механизмах. Показатель измеряется в Ньютонах и обозначается Н.

Практические занятия

Механики и физики обозначают с помощью k, c и D коэффициент упругости, пропорциональности, жесткости. Смысл математической записи одинаковый. Численно показатель равняется силе, которая создаёт колебания на одну единицу длины. На практических работах по физике используется в качестве последней величины 1 метр.

Чем выше k, тем больше сопротивление предмета относительно деформации. Дополнительно коэффициент показывает степень устойчивости тела к колебаниям со стороны внешней нагрузки. Параметр зависит от длины и диаметра винтового изделия, количества витков, сырья. Единица измерения жесткости пружины — Н/м.

На практике перед школьниками и механиками может стоять более сложная задача, к примеру, найти общую жёсткость. В таком случае пружины соединены последовательным либо параллельным способом. В первом случае уменьшается суммарная жесткость. Если пружины расположены последовательно, используется следующая формула: 1/k = 1/k1 + 1/k2 + … + 1/ki, где:

k — суммарная жёсткость соединений;
k1 …ki — жёсткость каждого элемента системы;
i — число пружин в цепи.

Если невесомые (расположены горизонтально) предметы соединены параллельно, значение общего k будет увеличиваться. Величина вычисляется по следующей формуле: k = k1 + k2 + … + ki.

Основная методика для вычислений

На практике коэффициент Гука определяется самостоятельно. Для эксперимента потребуется пружина, линейка, груз с определённой массой. Необходимо соблюдать следующую последовательность действий:

Пружина фиксируется вертикально. Для этого используется любая удобная опора со свободной нижней частью.
Линейкой измеряется длина предмета. Результат записывается как х1.
На свободный конец подвешивается груз с известной массой m.
Измеряется длина изделия под воздействием амплитуды. Вывод записывается как х2.
Производит подсчёт абсолютного удлинения: x = x2-x1. Для определения энергии (силы) и k в международной системе СИ осуществляется перевод длины из разных единиц измерения в метры.
Сила, спровоцировавшая деформацию, считается силой тяжести тела. Она рассчитывается по формуле: F = mg, где м является массой используемого груза (вес переводится в килограммы), а g (равен 9,8) — постоянная величина, с помощью которой отмечается ускорение свободного падения.

Если вышеописанные вычисления произведены, необходимо найти значение коэффициента жёсткости. Используется закон Гука, из которого следует, что k=F/x.

Решение задач

Для нахождения жёсткости в случае использования разных предметов, включая пружинные маятники с разной частотой колебаний, применяется формула Гука либо следствие, вытекающее из неё.

Задача № 1. Пружина имеет длину 10 см. На неё оказывается сила в 100 Н. Изделие растянулось на 14 см. Нужно найти k.

Решение: предварительно вычисляется абсолютное удлинение: 14−10=4 см. Результат переводится в метры: 0,04 м. Используя основную формулу, находится k. Его значение равняется 2500 Н/м.

Задача № 2. На пружину подвешивается груз массой 10 кг. Изделие растягивается на 4 см. Нужно найти длину, на которую растянется пружина, если использовать груз массой в 25 кг.

Решение: Определяется сила тяжести путем умножения 10 кг на 9.8. Результат записывается в Ньютонах. Определяется k=98/0.04=2450 Н/м. Рассчитывается, с какой силой воздействует второй груз: F=mg=245 Н. Для нахождения абсолютного удлинения используется формула x=F/k. Во втором случае х равняется 0,1 м.

Применение цилиндрических пружин

На производстве наиболее востребованы цилиндрические пружины, так как они обладают уникальными особенностями. При создании системы отмечается центральная ось, вдоль которой действуют разные силы. В процессе изготовления подобных изделий используется проволока соответствующего диаметра.

Для её изготовления понадобится специальный сплав либо обычные металлы. Сам материал должен обладать высокой упругостью. Проволока может иметь витки одного диаметра либо разных радиусов. Большим спросом пользуются цилиндрическая пружина, которая в сжатом состоянии обладает незначительной толщиной.

Главными параметрами изделия считаются:

малый, средний и большой диаметр витков и самой проволоки;
шаг размещения отдельный колец.

В задачах по физике вычисляется k для двух состояний: растяжение и сжатие. В любом случае используется одна формула для определения величины. Разница понятий:

Исполнение, рассчитанное на сжатие, характеризуется дальним размещением витков. Расстояние, образуемое между ними, появляется возможность на сжатие.
Модель, связанная с растяжением, имеет кольца, расположенные плотно между собой. Такая форма определяет то, что при максимальной силе растяжение минимальное.

Отдельно рассматриваются варианты на изгиб и кручение. Такие детали рассчитываются по специальным формулам. Для разных соединений характерны определённые особенности. Чтобы провести определения растяжения, учитывается момент теста.

Показатель зависит от характеристик проволоки, оказываемой силы либо массы тела. Для всех систем используются разные формулы, но полученные результаты не имеют погрешностей. Чтобы провести тесты для вычисления основных параметров, используется специальное оборудование. Простые задачи с деформацией пружин решают ученики на уроках физике в 7−8 классе. О параллельном и последовательном соединении элементов системы узнают учащиеся старших классов.

Коэффициент жесткости пружины

Определение и формула коэффициента жесткости пружины

Сила упругости ( ${\overline{F}}_{upr}$ ), которая возникает в результате деформации тела, в частности пружины, направленная в сторону противоположную перемещению частиц, деформируемого тела, пропорциональна удлинению пружины:

${\overline{F}}_{upr}=-kx\left(1\right)$

Коэффициент пропорциональности () в формуле (1), которая называется законом Гука, называется коэффициентом упругости (коэффициентом жесткости) пружины. Коэффициент жесткости численно равен силе, которую следует приложить к пружине для того, чтобы ее длина изменилась на единицу:

$k=\frac{F_{upr}}{x}\left(2\right),$

где — удлинение пружины при деформации.

Он зависит от формы тела, его размеров, материала из которого изготовлено тело (пружина).

Иногда коэффициент жесткости обозначают буквами D и с.

Величина коэффициента жёсткости пружины указывает на устойчивость ее к действию нагрузок и насколько велико ее сопротивление при воздействии.

Коэффициент жесткости соединений пружин

Если некоторое число пружин соединить последовательно, то суммарную жесткость такой системы можно вычислить как:

$\frac{1}{k}=\sum^N_{i=1}{\frac{1}{k_i}}\left(3\right)$

В том случае, если мы имеем дело с n пружинами, которые соединены параллельно, то результирующую жесткость получают как:

$k=\sum^N_{i=1}{k_i}\left(4\right)$

Коэффициент жесткости цилиндрической пружины

Рассмотрим пружину в виде спирали, которая сделана из проволоки с сечением круг. Если рассматривать деформацию пружины как совокупность элементарных сдвигов в ее объеме под воздействие сил упругости, то коэффициент жесткости можно вычислить при помощи формулы:

$k=\frac{r^4}{4R^3}\frac{G}{n}\left(5\right),$

где — радиус пружины, — количество витков в пружине, — радиус проволоки, — модуль сдвига (постоянная, которая зависит от материала).

Единицы измерения

Основной единицей измерения коэффициента жесткости в системе СИ является:

$\left[k\right]=\frac{H}{m}=\frac{kg}{c^2}$

$\left[k\right]$ = дин/см

Примеры решения задач

Задание	Радиус цилиндрической пружины 10 мм, радиус проволоки из которой она изготовлена 0,8 мм количество витков равно 50. Каков коэффициент жесткости пружины, если она выполненная из пружинной стали $G=78500\cdot {10}^6$ Па.
Решение	В качестве основы для решения задачи примем формулу:

$k=\frac{r^4}{4R^3}\frac{G}{n}\left(1.1\right)$

Переведем имеющиеся данные в единицы системы СИ:

$R=10mm={10}^{-2}m;\ r=8\cdot {10}^{-4}m$

$k=\frac{{(8\cdot {10}^{-4})}^4}{4{({10}^{-2})}^3}\frac{7,85\cdot {10}^{10}}{50}\approx 161\ (\frac{H}{m})$

$F=kx\left(2.1\right)$

В соответствии с геометрическим смыслом — тангенс угла наклона прямой, заданной формулой (2.1) по отношению к оси X. Следовательно:

$k_1=tg\left({\alpha }_1\right)=\frac{F}{2x}\left(2.2\right)$

$k_2=tg\left({\alpha }_2\right)=\frac{F}{x}\left(2.3\right)$

Найдем отношение коэффициентов жесткости пружин, принимая во внимание выражения (2.2) и (2.3):

голоса

Рейтинг статьи

Читайте так же:
Оборудование для восстановления шаровых опор