Определение модуля упругости методом изгиба

Определение модуля упругости методом изгиба

Цель работы: экспериментальное определение модулей упругости пластин, изготовленных из различных материалов, методом изгиба.

Приборы и принадлежности: установка «Модуль Юнга», пластины, набор грузов массой 0.05 кг, 0.1 кг и 0.15 кг.

Элементы теории и метод эксперимента

В различных элементах конструкций и машин часто возникают только продольные усилия, которые вызывают в них деформацию растяжения или сжатия.

Английский ученый XVII века Роберт Гук открыл фундаментальную закономерность между силами и вызываемыми ими перемещениями, устанавливающую прямопропорциональную зависимость удлинения образца от растягивающей силы.

Английский ученый XIX века Томас Юнг впервые высказал идею о том, что для каждого материала существует постоянная величина, характеризующая его способность сопротивляться воздействию внешних нагрузок. Понятие об этой величине, названной им «модулем упругости» (позднее «модулем Юнга»), было сформулировано в 1807 г. в труде «Натуральная философия».

Модуль упругости характеризует важнейшее свойство конструкционного материала – жесткость – и является фундаментальным понятием, без которого не обходится ни один инженерный расчет элементов конструкций и сооружений. На рис. 1 изображен стержень с прямолинейной осью под действием продольных сил N, где

, (1)

σ – нормальное напряжение,

A – площадь поперечного сечения стержня.

Рис. 1. Продольные и поперечные деформации стержня

При действии продольных сил стержень деформируется. Если он растянут, то длина его увеличивается и становится равной L+∆L, где ∆L – это абсолютная продольная деформация (удлинение) стержня. Поперечные размеры его уменьшаются и принимают значения H–∆H и B–∆B, где ∆H и ∆B – это абсолютные поперечные деформации стержня.

Отношение абсолютной продольной деформации стержня к его первоначальной длине называется относительной продольной деформацией:

. (2)

Отношение абсолютной поперечной деформации стержня к его первоначальному поперечному размеру называется относительной поперечной деформацией:

, (3)

. (4)

Здесь знак «+» у деформации и знак «–» у деформаций и поставлены потому, что при растяжении продольные размеры стержня увеличиваются, а поперечные уменьшаются.

Последний шаг в формировании закона Гука в его современном виде сделали французский математик Коши, который в 1822 г. ввел в научную литературу понятия «напряжение» и «деформация», и французский ученый Навье, который в 1826 г. дал определение модуля упругости как отношение нагрузки, приходящейся на единицу площади поперечного сечения, к произведенному ею относительному удлинению

, (5)

Где E – модуль Юнга (модуль упругости первого рода).

Таким образом, закон Гука получил практическое применение в виде формулы

. (6)

Модуль упругости E является физической постоянной материала и определяется экспериментально. Его величина выражается в тех же единицах, что и напряжения σ, т. е. в паскалях (Па), так как ε – безразмерная величина. Модуль упругости большинства материалов имеет большие числовые значения и его обычно выражают в гигапаскалях (ГПа).

Абсолютное значение отношения относительной поперечной деформации и относительной продольной деформации при растяжении или сжатии в области действия закона Гука называется коэффициентом Пуассона

(7)

Это безразмерный коэффициент, характеризующий свойства материала и определяемый экспериментально. Он носит имя французского ученого, который впервые ввел его в теорию.

После приложения к телу внешней нагрузки его точки перемещаются. Обычно величины упругих перемещений считаются малыми по сравнению с геометрическими размерами деформируемых тел. Рассмотрим эти перемещения на примере консольной балки длиной L с односторонней внешней заделкой, изображенной на рис. 2. К свободному концу балки приложена сосредоточенная сила F, которая и вызывает деформации ее точек. Прогиб балки в текущем сечении обозначим δ. Выделим элемент объема балки длиной Dz, находящейся на расстоянии Z от закрепленного конца.

Рис. 2. Изгиб консольной балки

Деформированное состояние в текущем сечении балки описывается радиусом кривизны или кривизной ее изогнутой оси .

Известно [2], что уравнение изогнутой оси балки имеет вид:

, (8)

Где IX – осевой момент инерции сечения балки относительно оси Ox. Произведение EIX называется жесткостью сечения при изгибе относительно соответствующей оси.

На рис. 3 изображено произвольное сечение, представляющее собой плоскую геометрическую фигуру, площадь которой A. Выделим на ней элементарную площадь DA.

Тогда

. (9)

Определим момент инерции прямоугольного сечения относительно осей СX и СY, проходящих через его центр, как это показано на рис. 4.

Разделим площадь прямоугольника на элементарные прямоугольники с размерами B и Dy, площадь которых . Подставляя значение в выражение (9) и интегрируя, получаем:

. (10)

. (11)

Рассмотрим балку длиной L, установленную на двух опорах и нагруженную, как это изображено на рис. 5.

Решение дифференциального уравнения (8) можно получить последовательным интегрированием. Когда внешняя нагрузка расположена симметрично относительно опор, как показано на рис. 5, то решение этого уравнения [2] примет вид:

. (12)

Поэтому модуль Юнга определяется формулой

. (13)

С учетом выражения (10) получим

. (14)

Следовательно, определив нагрузку F и значение прогиба δ для балки (пластины) длиной L с поперечными размерами сечения B и H, по формуле (14) можно вычислить модуль Юнга материала, из которого она изготовлена.

Описание экспериментальной установки

Схематичное изображение установки «Модуль Юнга» приведено на рис. 6.

Установка «Модуль Юнга» состоит из основания 1, на котором закреплена стойка 2. На стойке расположен кронштейн 3 с двумя призматическими опорами 4. На опоры устанавливается исследуемый образец 5 (пластина). С помощью устройства нагружения образца 7, представляющего собой скобу с призматической опорой, к образцу прикрепляются наборный груз 6 и часовой индикатор 8.

Порядок выполнения работы

1. Поставить одну из исследуемых пластин на призматические опоры 4.

2. Установить часовой индикатор 8 так, чтобы его наконечник коснулся пластины.

3. Повесить скобу устройства 7 посередине пластины.

4. Прикрепить на скобу груз массой M1=0,1 кг.

5. По шкале индикатора 8 определить значение прогиба пластины δ1.

7. Повесить на скобу груз массой M2=0,15 кг.

8. По шкале индикатора 8 определить значение прогиба пластины δ2.

9. Рассчитать нагрузку F по формуле

, (15)

Где G – ускорение свободного падения.

10. Значение прогиба пластины определить как

. (16)

11. Найти модуль Юнга по формуле (14), где L=0,114 м – расстояние между призмами (длина пластины); B=0,012 м – ширина сечения пластины; H=0,0008 м – толщина пластины; δ – величина прогиба пластины, м.

12. Проделать указанные выше действия со второй пластиной.

13. Повторить для обеих пружин пп. 1-12 еще два раза.

Материал исследуемых образцов — сталь пружинная и бронза.

Поясните полученные результаты модулей упругости пластин, сравните их со справочными данными [3, 4].

Порядок оценки погрешностей

Считать, что погрешность оценки величины модуля Юнга по формуле (14) определяется погрешностью измерения длины пластины L (систематическая погрешность) и погрешностью оценки прогиба d (систематическая + случайная погрешности).

Записать результаты прямых измерений указанных параметров:

А) L=<L>±DL, Где DL=DLСист;

Б) d=<D>±Dd, Где , .

Записать результаты косвенных измерений:

Е=<Е>±DЕ, Где , , , , .

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Чем отличается нормальное напряжение от касательного?

2. По каким формулам определяются абсолютная и относительная деформации?

3. Какая величина называется модулем упругости первого рода?

4. Как определяется коэффициент Пуассона?

5. Что называется жесткостью сечения при изгибе?

6. В чем заключается различие формул осевого момента инерции сечения относительно осей Ox и Oy?

Элементы теории упругости

Под воздействием внешних сил всякое твердое тело изменяет свою форму – деформируется. Деформация, исчезающая с прекращением действия сил, называется упругой.

При упругой деформации тела возникают внутренние силы упругости, стремящиеся вернуть телу первоначальную форму. Величина этих сил пропорциональна деформации тела.

Деформация растяжения и сжатия

Возникающее удлинение образца (Δl) под действием внешней силы (F) пропорционально величине действующей силы, первоначальной длине (l) и обратно пропорционально площади поперечного сечения (S) – закон Гука:

Величина E называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга и характеризует упругие свойства материала. Величина F/S = p называется напряжением.

Деформация стержней любых длин и сечений (образцов) характеризуется величиной, называемой относительной продольной деформацией, ε = Δl/l.

Закон Гука для образцов любых форм:

Модуль Юнга численно равен напряжению, увеличивающему длину образцов в два раза. Однако разрыв образца наступает при значительно меньших напряжениях. На рис.1 графически изображена экспериментальная зависимость p от ε , где p_макс – предел прочности, т.е. напряжение, при котором на стержне получается местное сужение (шейка), p_тек – предел текучести, т.е. напряжение, при котором появляется текучесть (т.е. увеличение деформации без увеличения деформирующей силы), p_упр – предел упругости, т.е. напряжение, ниже которого справедлив закон Гука (имеется в виду кратковременное действие силы).

Материалы разделяются на хрупкие и пластичные. Хрупкие вещества разрушаются при очень малых относительных удлинениях. Хрупкие материалы обычно выдерживают, не разрушаясь, большее сжатие, чем растяжение.

Совместно с деформацией растяжения наблюдается уменьшение диаметра образца. Если Δd – изменение диаметра образца, то ε ₁ = Δd/d принято называть относительной поперечной деформацией. Опыт показывает, что | ε ₁/ ε |

Абсолютная величина μ = | ε ₁/ ε | носит название коэффициент поперечной деформации или коэффициента Пуассона.

Деформация сдвига

Сдвигом называют деформацию, при которой все слои тела, параллельные некоторой плоскости, смещаются друг относительно друга. При сдвиге объем деформируемого образца не меняется. Отрезок АА₁ (рис.2), на который сместилась одна плоскость относительно другой, называют абсолютным сдвигом. При малых углах сдвига угол α ≈ tg α = АА₁/AD характеризует относительную деформацию и его называют относительным сдвигом.

Закон Гука для деформации сдвига может быть записан в виде

где коэффициент G называется модуль сдвига.

Сжимаемость вещества

Всестороннее сжатие тела приводит к уменьшению объема тела на ΔV и возникновению упругих сил, стремящихся вернуть телу первоначальный объем. Сжимаемостью ( β ) называется величина, численно равная относительному изменению объема тела ΔV/V при изменении действующего по нормали к поверхности напряжения (p) на единицу.

Величина, обратная сжимаемости, носит название модуля объемной упругости (K).

Изменение объема тела ΔV при всестороннем увеличении давления на ΔP вычисляется по формуле

Соотношения между упругими постоянными

Модуль Юнга, коэффициент Пуассона, модуль объемной упругости и модуль сдвига связаны между собой уравнениями:

которые по двум известным упругим характеристикам позволяют, в первом приближении, рассчитать остальные.

Потенциальная энергия упругой деформации определяется по формуле

Единицы измерения модулей упругости: Н/м 2 (СИ), дин/см 2 (СГС), кгс/м 2 (МКГСС) и кгс/мм 2 .

Приведенный модуль упругости формула

Приведены теоретические подходы к расчету упруго-прочностных характеристик при растяжении композиционных материалов на основе тканых наполнителей. Описаны методы изготовления образцов отверждающихся связующих для испытаний на растяжение. Исследовано влияние метода изготовления образцов на определяемые упруго-прочностные характеристики эпоксидного связующего ВСЭ-34. Проведен теоретический расчет, а также получены экспериментальные значения прочности и модуля упругости при растяжении стеклопластика ВПС-53/120. Приведено сравнение теоретически рассчитанных значений с экспериментальными.

Работа выполнена в рамках реализации комплексного научного направления 13.2. «Конструкционные ПКМ» («Стратегические направления развития материалов и технологий их переработки на период до 2030 года»)

Введение

В настоящее время одним из основных показателей промышленного прогресса является происходящая во всем мире замена традиционных изделий из металла на полимерные композиционные материалы (ПКМ). Развитие современных технологий требует создания принципиально новых изделий из полимерных материалов, обладающих, кроме высоких технологических и эксплуатационных характеристик, способностью сохранять свои свойства при воздействии различных деструктивных факторов. С расширением областей применения увеличивается не только спрос и ассортимент полимерных материалов, но и качественные требования, предъявляемые к физико-механическим показателям, а также к способам переработки с использованием современных энергосберегающих и экологически чистых методов [1, 2].

Полимерные композиционные материалы состоят из двух основных компонентов: непрерывной фазы – матрицы (связующего) и армирующего наполнителя. Основные прочностные характеристики композита, такие как прочность, модуль упругости при растяжении и др., во многом определяются свойствами армирующего наполнителя. В качестве армирующих наполнителей широкое применение нашли стеклянные и углеродные волокна. Данные типы волокон имеют свои достоинства: у углеродных – высокий уровень физико-механических показателей (прочность, модуль упругости) и электропроводности, а среди преимуществ стеклянных волокон можно отметить низкую стоимость, высокую теплостойкость, устойчивость к химическому воздействию, низкую теплопроводность и хорошие диэлектрические характеристики [3–5].

Физико-механические свойства стеклопластиков, так же как и других полимерных композиционных материалов, в основном зависят от трех факторов: прочности армирующего наполнителя, прочности и деформационных свойств полимерной матрицы, прочности адгезионной связи матрицы с поверхностью армирующего наполнителя. Вышеперечисленное справедливо при условии одинаковости других параметров материалов: пористости, степени наполнения, технологии переработки и т. д. При разработке новых стеклопластиков перед исследователями встает проблема совместимости компонентов [6–8]. Казалось бы, чем более высокими упруго-прочностными характеристиками обладает полимерная матрица стеклопластика, тем выше его свойства. Однако не следует считать, что полимерная матрица, со свойствами приближающимися к свойствам армирующего наполнителя, обеспечит наилучшие свойства композиту [9, 10].

В композиционном материале каждый из компонентов выполняет свою функцию и должен обладать оптимальными свойствами в каждом конкретном случае. Композиционные материалы представляют собой гетерогенные системы, обладающие ярко выраженной анизотропией свойств как в отношении деформации, так и в отношении прочности. «Идеальной» можно считать ту гетерогенную систему, в которой в максимальной степени используются свойства составляющих ее элементов и которая обладает наибольшей возможной жесткостью и прочностью. Другими словами, наиболее перспективными материалами являются те, в которых независимо от характера локального приложения внешних нагрузок обеспечивается наиболее однородная деформация всей гетерогенной системы в целом, наибольшая одновременность работы всех элементов системы и ее монолитность. При работе композиционных материалов нагрузки в основном воспринимаются армирующими волокнами.

В табл. 1 приведены физико-механические характеристики армирующего волокна и расчетные свойства полимерной матрицы, которая, по мнению авторов работы [11], обеспечивает при объемном содержании армирующих волокон 70% реализацию прочности стекловолокна на 90%. Данные требования к свойствам полимерной матрицы сформулированы на основе системы неравенств: (Е_{матрицы}/Е_стекла)≥0,064;
(σ_{матрицы}/σ_стекла)≥0,060; (ε_{матрицы}/ε_стекла)≥1,5, что близко к неравенствам, представленным в работе [10]. В работе утверждается, что для обеспечения совместной деформации всех армирующих элементов в композиционном материале механические свойства матрицы и армирующего волокна должны соответствовать следующим неравенствам: (Е_{матрицы}/Е_{волокна})≥0,06; (t_{адгезии}/σ_{в волокна})≥0,015; (ε_{матрицы}/ε_{волокна})≥1,7; (t_{матрицы}/t_{волокна})≥1. В первом приближении монолитность ориентированного стеклопластика будет обеспечена в случае одновременного выполнения комплекса ранее описанных соотношений. Автор работы утверждает, что наибольшая прочность композита и одновременность разрушения волокна, матрицы и адгезионной связи между ними будет наблюдаться только в случае удовлетворения всего комплекса условий [11].

Модуль упругости при растяжении мпа

Настоящий стандарт распространяется на пластмассы и устанавливает методы определения модуля упругости при растяжении, сжатии и изгибе.

Стандарт не распространяется на ячеистые пластмассы и пленки из пластмасс.

Стандарт полностью соответствует СТ СЭВ 2345-80.

Термины, применяемые в настоящем стандарте, и их пояснения приведены в приложении.

1. МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ

1.1. Сущность метода

Сущность метода заключается в определении модуля упругости при растяжении как отношения приращения напряжения к соответствующему приращению относительного удлинения, установленному настоящим стандартом.

1.2. Отбор образцов

1.2.1. Для испытания применяют образцы по ГОСТ 11262-80.

1.2.2. Количество образцов, взятых для испытания одной партии материала, а для анизотропных материалов в каждом из выбранных направлений, должно быть не менее 3.

1.3. Аппаратура

Для проведения испытания применяют аппаратуру по ГОСТ 11262-80, при этом испытательная машина должна обеспечивать скорость раздвижения зажимов (1,0±0,5)% в минуту, а прибор для измерения удлинения должен обеспечивать измерение с погрешностью не более 0,002 мм.

1.4. Подготовка к испытанию

Общее понятие

Модуль упругости (также известный как модуль Юнга) – один из показателей механических свойств материала, который характеризует его сопротивляемость деформации растяжения. Другими словами, его значение показывает пластичность материала. Чем больше модуль упругости, тем менее будет растягиваться какой-либо стержень при прочих равных условиях (величина нагрузки, площадь сечения и прочее).

В теории упругости модуль Юнга обозначается буквой Е. Является составной частью закона Гука (закона о деформации упругих тел). Связывает напряжение, возникающее в материале, и его деформацию.

Согласно международной стандартной системе единиц измеряется в МПа. Но на практике инженеры предпочитают использовать размерность кгс/см2.

Определение модуля упругости осуществляется опытным путем в научных лабораториях. Суть данного способа заключается в разрыве на специальном оборудовании гантелеобразных образцов материала. Узнав напряжение и удлинение, при котором произошло разрушение образца, делят данные переменные друг на друга, тем самым получая модуль Юнга.

Отметим сразу, что таким методом определяются модули упругости пластичных материалов: сталь, медь и прочее. Хрупкие материалы – чугун, бетон – сжимают до появления трещин.

Дополнительные характеристики механических свойств

Модуль упругости дает возможность предугадать поведение материла только при работе на сжатие или растяжение. При наличии таких видов нагрузок как смятие, срез, изгиб и прочее потребуется введение дополнительных параметров:

• Жесткость есть произведение модуля упругости на площадь поперечного сечения профиля. По величине жесткости можно судить о пластичности уже не материала, а узла конструкции в целом. Измеряется в килограммах силы.
• Относительное продольное удлинение показывает отношение абсолютного удлинения образца к общей длине образца. Например, к стержню длиной 100 мм приложили определенную силу. Как результат, он уменьшился в размере на 5 мм. Деля его удлинение (5 мм) на первоначальную длину (100 мм) получаем относительное удлинение 0,05. Переменная является безразмерной величиной. В некоторых случаях для удобства восприятия переводится в проценты.
• Относительное поперечное удлинение рассчитывается аналогично вышепредставленному пункту, но вместо длины здесь рассматривается диаметр стержня. Опыты показывают, что для большинства материалов поперечное удлинение в 3-4 раза меньше, чем продольное.
• Коэффициент Пуансона есть отношение относительной продольной деформации к относительной поперечной деформации. Данный параметр позволяет полностью описать изменение формы под воздействием нагрузки.
• Модуль сдвига характеризует упругие свойства при воздействии на образец касательных напряжений, т. е. в случае, когда вектор силы направлен под 90 градусов к поверхности тела. Примерами таких нагрузок является работа заклепок на срез, гвоздей на смятие и прочее. По большому счету, модуль сдвига связан с таким понятием как вязкость материла.
• Модуль объемной упругости характеризуется изменением объема материала для равномерного разностороннего приложения нагрузки. Является отношением объемного давления к объемной деформации сжатия. Примером такой работы служит опущенный в воду образец, на который по всей его площади воздействует давление жидкости.

Читать также: Регулировка карбюратора бензопилы husqvarna 142

Помимо вышесказанного необходимо упомянуть, что некоторые типы материалов имеют различные механические свойства в зависимости от направления нагрузки. Такие материалы характеризуются как анизотропные. Яркими примерами служит древесина, слоистые пластмассы, некоторые виды камня, ткани и прочее.

У изотропных материалов механические свойства и упругая деформация одинаковы в любом направлении. К ним относят металлы (сталь, чугун, медь, алюминий и прочее), неслоистые пластмассы, естественные камни, бетон, каучук.

2. МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ПРИ СЖАТИИ

2.1. Сущность метода

Сущность метода заключается в определении модуля упругости при сжатии как отношения приращения напряжения к соответствующему приращению относительной деформации сжатия, установленному настоящим стандартом.

2.2. Отбор образцов

2.2.1. Для испытания применяют образцы по ГОСТ 4651-82. База измерения деформации должна составлять не менее 10 мм и не более высоты образца при измерении деформации прибором, установленным на образце.

При изготовлении образцов из изделий толщиной менее 5 мм используют образцы в форме прямоугольных пластин размерами (80±2)х(10,0±0,5) мм, а толщина образца равна толщине изделия. Для армированных пластмасс ширина образцов равна (15,0±0,5) мм. Для предотвращения потери устойчивости при испытании таких образцов применяют приспособление (черт.1).

Черт.1. Приспособление для испытания на сжатие образцов толщиной менее 5 мм

Приспособление для испытания на сжатие образцов толщиной менее 5 мм

2.2.2. Количество образцов должно соответствовать п.1.2.2.

2.3. Аппаратура

Для проведения испытания применяют аппаратуру по ГОСТ 4651-82, при этом испытательная машина должна обеспечивать скорость сближения опорных площадок со скоростью деформации образца (1,0±0,5)% в минуту, а прибор для измерения деформации сжатия должен обеспечивать измерение с погрешностью не более 0,002 мм.

2.4. Подготовка к испытанию

2.4.1. Перед испытанием образцы кондиционируют в стандартной атмосфере по ГОСТ 12423-66 не менее 16 ч, если в нормативно-технической документации на конфетную продукцию нет других указаний.

2.4.2. Перед испытанием измеряют размеры образцов по ГОСТ 4651-82.

2.5. Проведение испытания

2.5.1. Испытания проводят при температуре и относительной влажности, указанных в п.1.5.1.

2.5.2. Образец устанавливают на опорных плитах испытательной машины так, чтобы продольная ось образца совпадала с направлением действия силы.

2.5.3. Устанавливают прибор для измерения деформации. Деформацию при сжатии определяют измерением расстояния между площадками или по изменению базы на образце (см. п.2.2.1).

2.5.4. Образец нагружают при скорости сближения площадок испытательной машины, обеспечивающей скорость деформации образца (1,0±0,5)% в минуту. Нагружение осуществляют до величины деформации 0,5%.

Если образцы разрушаются до достижения относительной деформации 0,5%, нагружение осуществляют до меньшей величины деформации, установленной в нормативно-технической документации на конкретную продукцию.

2.5.5. Графическую запись нагрузки и деформации проводят в соответствии с п.1.5.5 при значениях относительной деформации сжатия, равных значениям относительного удлинения, указанных в п.1.5.5.

2.6. Обработка результатов

2.6.1. По диаграмме определяют значения нагрузки, соответствующие величинам относительной деформации 0,1 и 0,3%.

Допускаются меньшие значения относительной деформации при сжатии для образцов, предусмотренных в п.2.5.4.