Сопромат расчет балки на прочность

Сопромат расчет балки на прочность

Расчет простой балки на прочность и жесткость

Инструкция к программе

Программа написана на языке PHP и предназначена для использования студентами строительных вузов при выполнении расчетно-графической работы (РГР) «Расчет балки на прочность и жесткость». Все расчеты выполняются Online, что освобождает студентов от необходимости посещать компьютерный класс.

При использовании программы студентами машиностроительных вузов следует заменить следующие термины: нормативное сопротивление Rn – на предельное напряжение, расчетное сопротивление R – на допускаемое напряжение, коэффициент надежности по материалу γ – на коэффициент запаса прочности, коэффициент надежности по нагрузке γ_f положить равным единице. Кроме того, сечение стальной балки подбирается по предельному состоянию всего сечения, а в машиностроении основным методом расчета на прочность является метод допускаемых напряжений.

Подробно методика расчета, реализованная в данной программе, изложена в следующих методических указаниях:
«Расчет балки на прочность» Скачать
«Расчет балки на жесткость» Скачать

Порядок выполнения расчетов

Расчет начинаем с пункта «Исходные данные». Начало отсчета располагается на левом конце балки, ось x направлена вправо, ось y – вниз. Сосредоточенные силы, включая опорные реакции, и распределенные нагрузки считаются положительными, если направлены вниз. Момент пары сил считается положительным, если направлен по часовой стрелке. Вводить следует значения нормативных нагрузок. Так как программа используется в учебных целях, то число нагрузок любого типа должно быть не более 10!

Пункты главного меню, выделенные серым цветом, неактивны на соответствующем этапе вычислений. При нажатии на них откравается окно с указанием того, что нужно сделать для продолжения расчетов.

Исходные данные расположены в следующем порядке:
— тип балки: 0 – шарнирно опертая, 1 – с заделкой;
— длина балки;
— для шарнирно опертой балки координаты опор;
— для балки с заделкой указание на то, левый или правый конец защемлен;
— коэффициент надежности по нагрузке (используется при расчете балки на прочность);
— число сосредоточенных сил;
— число пар сил;
— число распределенных нагрузок;
— для каждой сосредоточенной силы – величина и координата точки приложения;
— для каждой пары сил – величина и координата сечения, в котором она действует;
— для каждой распределенной нагрузки – интенсивность нагрузки в начале и в конце участка, на котором она действует, и координаты концов этого участка.
В качестве разделителя целой и дробной частей вещественного числа используется точка.

Распределенные нагрузки предполагаются распределенными по линейному закону. Если какой-либо тип нагрузок отсутствует, то следует положить число этих нагрузок равным нулю. После ввода исходных данных нажимаем на ссылку «Продолжить расчет» и переходим на вкладку «Эпюры Q(x) и M(x)» для нахождения опорных реакций, построения эпюр поперечной силы и изгибающего момента и нахождения M_max.

Далее можно выполнить подбор сечения двутавровой балки (нормативное сопротивление и коэффициент надежности по материалу вводятся по дополнительному запросу) и выполнить расчет прочности в заданном сечении. Затем перейти к нахождению прогибов и углов поворота сечений. При этом следует задать значение модуля упругости. Величина момента инерции сечения либо задается (в этом случае подбор сечения можно опустить), либо используется момент инерции подобранного ранее двутавра.

Результаты расчетов выдаются на экран монитора. Нажимая правую кнопку мышки и выбирая пункт «Печать» (в браузерах Google Chrome, Internet Explorer, Yandex), можно либо распечатать результаты на принтере, либо сохранить их на компьютере пользователя в файле формата pdf. Можно также выделить часть текста, скопировать и вставить в любой редактор текстов (в Word выбрать выравнивание по левому краю). Вкладка «Полный расчет» становится доступной после выполнения всех предыдущих этапов и выводит на экран результаты расчетов по всем этим этапам.

Значения поперечной силы Q(x), изгибающего момента M(x), прогибов v(x) и углов поворота сечений φ(x) выдаются в сечениях, отстоящих друг от друга на расстоянии L/10, где L – длина балки.

Кроме того, в число расчетных сечений включаются те, в которых действуют сосредоточенные нагрузки, включая опорные реакции (при этом искомые величины находятся непосредственно слева и справа от этих сечений) и сечения, в которых равна нулю поперечная сила. Имеется возможность найти значения этих величин в произвольном сечении.

Бланк с РГР, рассмотренной в приведенных выше методичках.

Данные из этого бланка вводятся в поля ввода программы по умолчанию. Контроль за корректностью вводимых данных возложен на пользователя.

Расчеты балок под сосредоточенной нагрузкой

В данном разделе можно выполнить онлайн расчеты статически определимых балок в условиях прямого поперечного изгиба под действием сосредоточенной нагрузки. Расчеты определяют прогиб, угол поворота и изгибающий момент в произвольно заданной точке балки при различных граничных условиях. Определив наибольший изгибающий момент и соответствующее опасное сечение балки легко подобрать его размеры исходя из допускаемых напряжений в сечении.

Исходные данные:

L — длина балки, в миллиметрах;

a — координата точки приложения сосредоточенной нагрузки, в миллиметрах;

X — координата точки нахождения изгибающего момента, угла поворота и прогиба балки, в миллиметрах;

F — нагрузка, в ньютонах;

I_x — момент инерции сечения относительно оси, перпендикулярной действию нагрузки, в метрах 4 ;

Е — модуль упругости материала балки, в паскалях.

Расчет балки # 1.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке консольно закрепленной балки под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

R_L = 0 — реакция опоры в крайней левой точке;

M_L = 0 — изгибающий момент в крайней левой точке;

θ_R = 0 — угол поворота в крайней правой точке;

Y_R = 0 — прогиб балки в крайней правой точке.

БАЛКА ПОД СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКОЙ вар.1

Длина балки L, мм

Расстояние A, мм

Координата точки Х, мм

Момент инерции сечения I_y, м 4

Модуль упругости Е, Па

Момент в точке Х, Н*м

Угол поворота в точке Х, град

Вертикальное смещение в точке Х, мм

©Copyright Кайтек 2020

Расчет балки # 2.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке балки c защемленным концом и скользящей опорой под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

R_L = 0 — реакция опоры в крайней левой точке;

θ_L = 0 — угол поворота в крайней левой точке;

θ_R = 0 — угол поворота в крайней правой точке;

Y_R = 0 — прогиб балки в крайней правой точке.

БАЛКА ПОД СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКОЙ вар.2

Длина балки L, мм

Расстояние A, мм

Координата точки Х, мм

Момент инерции сечения I_y, м 4

Модуль упругости Е, Па

Момент в точке Х, Н*м

Угол поворота в точке Х, град

Вертикальное смещение в точке Х, мм

©Copyright Кайтек 2020

Расчет балки # 3.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке балки c защемленным концом и шарнирной опорой под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

М_L = 0 — изгибающий момент в крайней левой точке;

Y_L = 0 — прогиб балки в крайней левой точке;

θ_R = 0 — угол поворота в крайней правой точке;

Y_R = 0 — прогиб балки в крайней правой точке.

БАЛКА ПОД СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКОЙ вар.3

Длина балки L, мм

Расстояние A, мм

Координата точки Х, мм

Момент инерции сечения I_y, м 4

Модуль упругости Е, Па

Момент в точке Х, Н*м

Угол поворота в точке Х, град

Вертикальное смещение в точке Х, мм

©Copyright Кайтек 2020

Расчет балки # 4.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке балки c защемленными концами под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

θ_L = 0 — угол поворота в крайней левой точке;

Y_L = 0 — прогиб балки в крайней левой точке;

θ_R = 0 — угол поворота в крайней правой точке;

Y_R = 0 — прогиб балки в крайней правой точке.

БАЛКА ПОД СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКОЙ вар.4

Длина балки L, мм

Расстояние A, мм

Координата точки Х, мм

Момент инерции сечения I_y, м 4

Модуль упругости Е, Па

Момент в точке Х, Н*м

Угол поворота в точке Х, град

Вертикальное смещение в точке Х, мм

©Copyright Кайтек 2020

Расчет балки # 5.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке балки c шарнирными опорами под действием сосредоточенной нагрузки.

Граничные условия:

М_L = 0 — изгибающий момент в крайней левой точке;

Y_L = 0 — прогиб балки в крайней левой точке;

М_R = 0 — изгибающий момент в крайней правой точке;

Y_R = 0 — прогиб балки в крайней правой точке.

БАЛКА ПОД СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКОЙ вар.5

Длина балки L, мм

Расстояние A, мм

Координата точки Х, мм

Момент инерции сечения I_y, м 4

Модуль упругости Е, Па

Момент в точке Х, Н*м

Угол поворота в точке Х, град

Вертикальное смещение в точке Х, мм

©Copyright Кайтек 2020

Расчет балки # 6.1

Расчет изгибающего момента, угла поворота и прогиба в произвольно заданной точке балки c шарнирной и скользящей опорами под действием сосредоточенной нагрузки.

Построение эпюр внутренних усилий

Калькулятор строит эпюры поперечных сил и моментов в простой балке под воздействием различных нагрузок.

Данный онлайн калькулятор предназначен для построения эпюр внутренних усилий. Эпюра внутренних усилий — график, показывающий характер изменения внутренних усилий по длине стержня. Построение эпюр необходимо для определения положения наиболее нагруженного (опасного) сечения стержня. Калькулятор наглядно изображает эпюру изгибающего момента M и поперечной силы Q. Теорию и формулы расчета можно найти ниже под калькулятором.

Эпюры поперечных сил и моментов в простой балке

Нагрузка

Нагрузка

Импортировать данные Ошибка импорта

• 
• Выбрать

Внутренние силы

Для иллюстрации внутренних сил, действующих в балке под нагрузкой, рассмотрим следующий рисунок.

Балка под нагрузкой, определение внутренних сил в сечении

Мысленно рассечем балку на два сегмента в точке B, где мы будем определять внутренние силы, действующие в балке.

Диаграмма свободного тела для сечения балки

Внутренние силы, действующие в сечении балки можно показать как внешние, на диаграмме свободного тела рассеченной балки. Компонента N_B, действующая вдоль балки, называется нормальной силой. В калькуляторе мы не рассматриваем нормальную силу, так как можно ввести только поперечные нагрузки.
Компонента внутренних сил Q_B, действующая параллельно сечению называется поперечной силой. На рисунке отражена только y-составляющая поперечных сил, в действительности возможна еще и z-составляющая. Калькулятор не допускает поворота нагрузки вокруг оси x, поэтому в наших вычислениях эта составляющая отсутствует.
Моменты M_B называются изгибающими моментами. Изгибающий момент равен сумме моментов всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой части балки, относительно центра тяжести проведенного сечения.
Компоненты сил препятствуют относительному смещению двух сегментов, моменты препятствуют относительному вращению. 1

Построение эпюр методом интегрирования.

Мы будем искать формулы для вычисления значений поперечной силы Q(x) и изгибающего момента M(x) отдельно для разных участков балки.
Границами участков являются характерные точки: концевые сечения балки, точки опор, точки приложения сосредоточенных сил и моментов, точки начала и конца действия распределенных нагрузок.
Для каждого участка, вычисляется интеграл от функции распределенной нагрузки q(x) для определения поперечной силы Q(x), следующим шагом вычисляется интеграл от Q(x) для определения функции изгибающего момента M(x) в соответствии с формулами:

Распределенная нагрузка q(x) в нашем калькуляторе может быть линейной, равномерно убывающей или возрастающей. В первом случае q(x) — константа , во втором — линейная функция: kx+b, в случае отсутствия распределенных нагрузок на участке q(x)=0, поперечная сила будет равна константе.
Таким образом для отыскания функций Q(x) и M(x) потребуется вычисление неопределенного интеграла от многочлена и вычисление константы интегрирования. Константу интегрирования можно найти, зная какую либо точку, через которую проходит искомая функция. См.: Интеграл многочлена.

В качестве такой точки будем брать значения Q(x) и M(x) по левой границе участка.
Q(x_l) будет равно значению функции поперечной силы Q(x) для предыдущего участка в точке l, смещенное на величину сосредоточенной силы (или опорной реакции) в этой точке. Если сила действует вверх, то смещение положительно, если вниз — отрицательно.
M(x_l) будет равно значению функции изгибающего момента M(x) для предыдущего участка в точке l, смещенное на величину сосредоточенного момента, приложенного к этой точке. Если сосредоточенный момент направлен по часовой стрелке, то смещение положительно, в противном случае — отрицательно.

Значение Q(x) на левом краю балки будет соответствовать сумме сосредоточенных сил и опорной реакции в этой точке, или будет равно нулю при отсутствии таковых. Значение M(x) по краям балки равно сумме значений сосредоточенных моментов приложенных к концам балки. Если сосредоточенных моментов в этих точках нет, то M(x) будет равен нулю.
Знаки для М(x) и Q(x) можно связать с характером деформации балки при действии внешних сил. Если изгибающий момент в сечении положителен, то балка в этом сечении гнется выпуклостью вниз, если же он отрицателен, то балка гнется выпуклостью вверх.

Пример

Рассмотрим получение функций Q(x) и M(x) на примере:

Приложенные нагрузки и опорные реакции

Первым делом вычисляются реакции опор. Посмотреть как они находятся можно в этом калькуляторе.
Получаем реакции опор:

Участок А

Распределенная нагрузка на участке равна: q(x) = 5. Найдем функцию поперечной силы на участке, путем интегрирования функции распределенной нагрузки:

Выразим константу C = Q(x)+5x, и подставим в формулу x=0 и значение поперечной силы в этой точке. Поперечная сила на концах балки равна нулю, но в точке 0 она изменена реакцией опоры V_A=11.56кН, которая направленна вверх. Соответственно поперечная сила в точке 0 будет равна Q(0) = 0 + 11.56 = 11.56.
Поэтому C = 11.56 — 5 ⋅ 0 = 11.56
Формула для поперечной силы на участке А:

Интегрируя функцию поперечной силы, получаем функцию изгибающего момента:

Аналогичным образом, значение момента на концах балок = 0, сосредоточенных моментов в начальной точке нет, поэтому M(0) = 0.
Подставляя x=0 и M(0) = 0 в выражение для C = M(x) + 2.5x 2 — 11.56x = 0 + 2.5 · 0 2 — 11.56 · 0 получаем значение C = 0
Формула для изгибающего момента на участке А:

Участок В, значения в характерных точках

Участок B

Чтобы найти распределенную нагрузку q(x) воспользуемся уравнением прямой линии по двум точкам.
По точкам (2;0) и (4;8) получаем уравнение для распределенной нагрузки: q(x) = 4x-8.
Найдем функцию поперечной силы на участке, интегрируя полученную функцию распределенной нагрузки.

По формуле Q(x) для предыдущего участка вычисляем значение Q на левой границе участка: Q(2)=-5∙2+11.56 = 1.56. Аналогично, как и на предыдущем участке вычисляем интеграл и константу интегрирования по точке (2;1.56).
Получим формулу для поперечной силы на участке B:
см. расчет
По формуле из предыдущего участка вычислим значение момента на левой границе участка: M(2) = -2.5 ∙ 2 2 + 11.56 ∙ 2 + 0= 13.12 .
Интегрируя формулу Q(x) и вычисляя константу интегрирования по граничной точке получим формулу для изгибающего момента на участке B:
см. расчет

Участок С, значения в характерных точках

Участок C

По формуле Q(x) для предыдущего участка вычисляем значение Q на левой границе участка: Q(4) = -2 ∙ 4 2 + 8 ∙ 4 – 6.44 = -6.44.
Сосредоточенная сила скачком изменяет Q_x в данной точке, она направлена вниз и потому отрицательна: Q(4) = -6.44 — 4 = -10.44
На третьем участке нет распределенной нагрузки, поперечная сила равна константе по последней точке.
Получим формулу для поперечной силы на участке С:

По формуле из предыдущего участка вычислим значение момента на левой границе участка: M(4) = -0.67 ∙ 4 3 + 4 ∙ 4 2 – 6.44 ∙ 4 + 15.33 = 10.91
Интегрируя формулу Q(x) и вычисляя константу интегрирования по граничной точке получим формулу для изгибающего момента на участке С:
см. расчет

Участок D, значения в характерных точках

Участок D

К данному участку также не приложена распределенная нагрузка, поперечная сила равна константе.
Формула для поперечной силы на участке D:

По формуле из предыдущего участка вычислим значение момента на левой границе участка: M(5) = -10.44 ∙ 5 + 52.67 = 0.47
Сосредоточенный момент скачком изменяет M_x в данной точке, он направлен по ходу часовой стрелки и поэтому положителен: M(5) = 0.47 + 10 = 10.47
Интегрируя формулу Q(x) и вычисляя константу интегрирования по граничной точке получим формулу для изгибающего момента на участке D:
см. расчет

Чтобы проверить правильность формул найдем значения поперечной силы и изгибающего момента в крайней точке балки.

Сосредоточенная сила в данной точке по величине равна опорной реакции с противоположным знаком. Изгибающий момент на концах балки равен нулю.

R.C.Hibbeler Engineering mechanics. Statics 12th edition, стр. 330 ↩

Н. М. Беляев. Сопротивление материалов, М.: Издательство «Наука», 1965г, изд. 14, 231 стр.  ↩

Техническая механика

На этой странице приведен пример решения задачи по Сопромату, в которой необходимо произвести расчет горизонтальной балки, нагруженной поперечными силовыми факторами. По результатам расчетов внутренних силовых факторов осуществлен подбор размеров сечения балки из расчета на прочность.

Результаты расчетов балки оформлены эпюрами изгибающих моментов и поперечных сил.

Здесь можно скачать готовые варианты контрольных работ по сопромату (прикладной механике) для учащихся Алтайского Государственного технического университета.
Варианты контрольных работ можно скачать в формате Word для ознакомления с порядком решения заданий, или для распечатывания и защиты (при совпадении вариантов).

Расчет двутавровой балки

Условие задачи:

На горизонтально расположенную балку, закрепленную на двух шарнирных опорах, действуют активные нагрузки: изгибающий момент М , сосредоточенная сила F и распределенная нагрузка q (см. рис. 3).
Материал стержня – сталь Ст.3.

Требуется:

Построить эпюры поперечных сил Q_Y и изгибающих моментов М_X и подобрать сечение балки из расчета на прочность.

Исходные данные:

• М = 6 кН×м;
• F = -7 кН;
• q = -8 кН/м;
• a = 2 м;
• Сечение балки: двутавр.

Координаты приложения нагрузок:

• Z_M = 3а — координата приложения изгибающего момента;
• Z_F = а — координата приложения сосредоточенной силы;
• начало распределенной нагрузки: Zq = 2а ;
• конец распределенной нагрузки: Zq = 3а ;
• Z_B = 3а — координата опоры В .

Указания:

Шарнирно-неподвижную опору А располагать на левом конце балки, этот же конец балки принимаем за начало координат.
Шарнирно-неподвижную опору В и внешние нагрузки располагать на соответствующих участках, в соответствии с которыми разбиваем балку на силовые участки.
Силовым участком считать ту часть балки, в пределах которой законы измерения Q_Y и M_X остаются постоянными.

Решение:

1. Из условия равновесия балки определим неизвестные опорные реакции R_А и R_В (см. рис. 3). Для этого составляем уравнения равновесия для изгибающих моментов сначала относительно опоры А , затем относительно опоры В .
При этом изгибающие моменты, направленные по часовой стрелке относительно опоры считаем отрицательными, против часовой стрелки – положительными.

откуда находим реакцию R_В :

откуда находим реакцию R_А :

Произведем проверку правильности найденных значений опорных реакций, используя уравнение равновесия действующих на балку сил с учетом их направления:

Опорные реакции найдены правильно.

2. Составим уравнения внутренних усилий Q_Y и M_X для каждого силового участка балки.

• Q_Y1 = R_A ;
• M_X1 = — R_A×Z_Y .

На протяжении всего участка I внутренняя сила равна R_A = 8,33 кН.
Изгибающий момент на этом силовом участке изменяется линейно, поэтому для построения эпюры достаточно рассчитать его значение в двух крайних сечениях участка:

• М_X1=0 = ;
• М_X1=2 = -8,33×2 = -16,66 кН×м.

• Q_Y2 = R_А – F = 8,33 – 7 = 1,33 кН;
• M_X2 = — R_А×( 2м + Z₂) + F×Z₂ .

Изгибающий момент на этом силовом участке тоже изменяется линейно:

• М_X2=2 = -16,66 кН×м;
• М_X2=4 = -8,33×(2+2) + 7×2 = -19,32 кН×м.

2.3. Участок III: 4 м ≤ Z₃ < 6 м (кроме крайней точки В , где приложен момент М ).

В крайней точке В ( Z₃ = 2 м) алгебраическая сумма всех изгибающих моментов должна быть равна нулю:

Сила Q_Y3 на силовом участке III изменяется линейно, поэтому для построения эпюры находим ее значение в крайних сечениях участка:

• Q_{Y Z3=0} = R_А – F — q×Z₃₌₀ = 8,33 — 7 = 1,33 кН;
• Q_{Y Z3=2} = R_А + q×Z₃₌₂ = 8,33 — 7 — 8×2 = -14,67 кН,

т. е. сила в крайней точке равна реакции опоры B , но направлена в противоположную сторону, что свидетельствует о правильности произведенных расчетов. Поскольку сила на силовом участке III поменяла знак, то изгибающий момент М_X при Q_Y = 0 имеет экстремальное значение. Найдем координату экстремальной точки Z_3экст и величину экстремального изгибающего момента M_Xэкст .

Подставив полученное значение в уравнение изгибающего момента, получим:

= -8,33×4,166+7×2,166 + 8×0,1662/2 = -19,43 кН×м.

Изгибающий момент на силовом участке III изменяется по квадратичной зависимости, поэтому его эпюра имеет криволинейный вид. Для того, чтобы построить эпюру изгибающих моментов на этом участке необходимо вычислить значение моментов в нескольких промежуточных точках.

• M_X3=0 = -8,33×4 +7×2 = -19,32 кН×м;
• M_Xэкст = -19,43 кН×м;
• M_X3=0,5м = -8,33×4,5 +7×2,5 + 8×0,52/2 = -18,985 кН×м;
• M_X3=1м = -8,33×5 +7×3 + 8×12/2 = -16,65 кН×м;
• M_X3=1,5м = -8,33×5,5 +7×3,5 + 8×1,52/2 = 15,255 кН×м;
• M_X3=2м = -6,0 кН×м.

3. По результатам расчетов строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 4 внизу страницы).

4. По эпюре М_X определяем опасное сечение балки, где изгибающий момент имеет максимальное значение (по абсолютной величине):

Размер сечения (по условию варианта задания — № двутавра) вычисляем из условия прочности при изгибе по осевому моменту сопротивления сечения:

W_X = M_Xmax/[σ] = 19,43×10 3 /160×10 6 = 0,000121 м 3 = 121 см 3 .

По таблице сортаментов выбираем двутавр №18 , у которого момент сопротивления W_X = 143 см 3 (ближайший по сортаменту двутавр №16 имеет момент сопротивления сечения равный 109 см 3 , что недостаточно для выполнения условия прочности).